10、能否通過有限步驟來判定不定方程是否存在有理整數(shù)解？

求出一個(gè)整數(shù)系數(shù)方程的整數(shù)根，稱為丟番圖（約210-290，古希臘數(shù)學(xué)家）方程可解。1950年前后，美國數(shù)學(xué)家戴維斯（Davis）、普特南（Putnan）、羅賓遜（Robinson）等取得關(guān)鍵性突破。1970年，巴克爾（Baker）、費(fèi)羅斯（Philos）對(duì)含兩個(gè)未知數(shù)的方程取得肯定結(jié)論。

1970年。蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家馬蒂塞維奇最終證明：在一般情況下，答案是否定的。雖然得出了否定的結(jié)果，卻產(chǎn)生了一系列很有價(jià)值的副產(chǎn)品，其中不少和計(jì)算機(jī)科學(xué)有密切聯(lián)系。

11、一般代數(shù)數(shù)域內(nèi)的二次型論

德國數(shù)學(xué)家哈塞（Hasse）和西格爾（Siegel）在20年代獲重要結(jié)果。60年代，法國數(shù)學(xué)家魏依（A.Weil）取得了新進(jìn)展。

12、類域的構(gòu)成問題

即將阿貝爾域上的克羅內(nèi)克定理推廣到任意的代數(shù)有理域上去。此問題僅有一些零星結(jié)果，離徹底解決還很遠(yuǎn)。

三、希爾伯特23個(gè)數(shù)學(xué)難題：代數(shù)和幾何問題

13、一般七次代數(shù)方程以二變量連續(xù)函數(shù)之組合求解的不可能性

14、建立代數(shù)幾何學(xué)的基礎(chǔ)

荷蘭數(shù)學(xué)家范德瓦爾登1938年至1940年，魏依1950年已解決。

一個(gè)典型的問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個(gè)直觀的解法。希爾伯特要求將問題一般化，并給以嚴(yán)格基礎(chǔ)?，F(xiàn)在已有了一些可計(jì)算的方法，它和代數(shù)幾何學(xué)有密切的關(guān)系。但嚴(yán)格的基礎(chǔ)至今仍未建立。