我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經(jīng)知道，二維球面本質(zhì)上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起，數(shù)學家們就在為此奮斗。

在2002年11月和2003年7月之間，俄羅斯的數(shù)學家格里戈里·佩雷爾曼在發(fā)表了三篇論文預印本，并聲稱證明了幾何化猜想。

在佩雷爾曼之后，先后有2組研究者發(fā)表論文補全佩雷爾曼給出的證明中缺少的細節(jié)。這包括密西根大學的布魯斯·克萊納和約翰·洛特；哥倫比亞大學的約翰·摩根和麻省理工學院的田剛。

2006年8月，第25屆國際數(shù)學家大會授予佩雷爾曼菲爾茲獎。數(shù)學界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。

世界未解數(shù)學難題之四：黎曼猜想

有些數(shù)具有不能表示為兩個更小的數(shù)的乘積的特殊性質(zhì)，例如，2、3、5、7……等等。這樣的數(shù)稱為素數(shù)；它們在純數(shù)學及其應用中都起著重要作用。

在所有自然數(shù)中，這種素數(shù)的分布并不遵循任何有規(guī)則的模式；然而，德國數(shù)學家黎曼(1826~1866)觀察到，素數(shù)的頻率緊密相關于一個精心構(gòu)造的所謂黎曼zeta函數(shù)ζ(s)的性態(tài)。

著名的黎曼假設斷言，方程ζ(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點已經(jīng)對于開始的1,500,000,000個解驗證過。證明它對于每一個有意義的解都成立將為圍繞素數(shù)分布的許多奧秘帶來光明。